第一章 数学
第五节 泛函分析、大范围分析
一、泛函分析、算子理论、调和分析 安徽师范大学南朝勋和王建华对Banach空间理论有较多的研究。他们把K．Y．Fan与Glicksberg的kR空间局部化，引入局部完全k－凸空间（L－kR），详细讨论了它的各种性质及提升问题。证明了：严格凸的LKU R空间是L－（k＋1）R空间。这样就建立了两类不同空间的联系。这些结果已引起国内外学者的兴趣，被多次引用。其次，引入k－光滑与k－强光滑概念，给出了共轭空间X＊是k－强光滑的充要条件；并指出KU R（LKU R空间及其共轭空间是k－严格凸和强光滑的一个很好模型。证明了k－严格凸与泛函的保范延拓之间的关系。从而推广了Taylor－Fougel定理。第三，对于Banach空间的光滑性及凸函数的可微性进行了研究。 在算子理论方面，安徽大学叶怀安研究了导算子，得到连续和一致连续的充要条件。安徽大学李嘉禹研究了具有一个极点的完备非负曲率流形上算子的谱。中国科技大学李翊神研究了G．J．方程对应的可积系及规范等价的扬方程。安徽师范大学张宪讨论了Banach空间X中有界线性算子的分解。 在抽象调和分析方面，安徽大学数学研究所有较多工作。范大山、谢家海得到U群上极大Fejer算子的弱型不等式。范大山研究了紧Lie群上Fourier级数Riesz型球平均的一致收敛性；许增福研究了Gauss－W eierstrass型球平均的逼近性质。郑学安研究了球平均的求和，由此导出（0，∞）×G上Dirichlet边值问题的所有解。郑学安、赵和生研究了按Lp模的最佳逼近。各自取得了进展。 二、大范围分析、动力系统 中国科技大学李翊神、朱国城、陈登远等完成“孤立子与非线性演化方程”研究，对孤立子方程是否存在二重根解作出了肯定的回答；对非线性演化方程，提出可从李群结构方程出发，去掉P．D．Lax算子方程中谱不变的限制，由此导出在谱可变的情况下许多新的孤立子方程，这些新方程可用反散方法求解。与同时期罗马大学F．Calogro和A．Degasperis所得结果相比，李翊神等人的方法更简便，条件更弱，结果更广泛。研究中所导出的方程可用以讨论非线性波在非均匀介质中的传播，已成为进一步研究孤立子方程的重要方法。 李翊神还与邓诗涛（中国科技大学）等对规范变换、Ham ilton方程组存在大范围Hopf分岔的充要条件以及AKNS系统的Lax代数，进行了深入讨论。该校陈登远、曾云波对非线性发展方程的转换算子及其应用，作了一系列研究。 中国科技大学熊金城对圆周连续自映射某些动力性质作了研究，并给出了M isiuieaicz一个定理的简要证明。他还用拓扑方法研究线段映射的动力系统、非游荡集、拓扑熵以及混乱。该校刘增荣对动力系统某些奇怪吸引子作了研究。所谓“奇怪吸引子”，泛指非汇又非极限的吸引子，并具有某些内部粗糙的结构。刘增荣指出，奇怪吸引子的几何构造，是无限多的Sm ale么蹄以及复杂形式共存。他还和安徽大学周士刚提出计算倍分叉的一种方法。中国科技大学田畴则用微分几何方法研究了某些非线性演化方程，对Sine－Gordon方程和Kdv方程解分别作了解释。 关于动力系统，中国科技大学蒋继发研究了电路网络模型，改进了J．K．Koser的结果，并作出了圆满的回答。强单调流（动力系统）理论是1985年M．W．Hirsch提出的一个新概念、新理论，蒋继发对Hirsch的许多结果作了本质性推广和改进，使该理论走向完善化。 “泛函分析、大范围分析”重要论文简表 表2－1－4  |
