第一章 数学
第七节 计算数学与计算机数学
关于有限元方法的研究，中国科技大学石钟慈取得多项重要成果。 样条有限元。样条有限元法是70年代以来在工程技术及数学研究中迅速发展起来的求解椭圆型微分方程的数值方法。该项研究提出的“样条有限元”是以样条函数为基础的一种有限元计算方法，理论上它是一种协调元，有比较完整的误差分析。适应于规划区域上的弹性结构问题和微分方程计算，并可同有限条与其它有限元相结合，扩大使用范围。与通常有限元法相比，该方法精度高，计算量少，可以在中小型计算机上解决较大型的问题，并在实际计算中验证了它的高效性，特别适宜于土木、水利、建筑等方面的结构分析。 关于非协调元收敛性的研究。石钟慈的研究内容有四点。一是70年代著名有限元专家Irons提出“小片检验”准测，Strang认为它是非协调元收敛的充要条件，石钟慈从理论上证明了“小片检验”不是非协调元收敛的必要条件，从而大大扩展了非协调元方法的使用范围。二是首次发现非协调元的一种奇特现象：通过“小片检验”的非协调元收敛的极限不是问题的真解。三是证明了Zienkiew iez板元对两种网格的不收敛性。四是从理论上证明了边界惩罚有限元法，的确可以达到最优阶的误差估计，从而解决了Carey1980年提出的问题。 在数值逼近方面，安徽学者做了不少工作。中国科技大学张飞提出两种非常规的板元列式方法。合肥工业大学朱功勤研究了具有结点和分段重Pade逼近；黄有度研究了Chebyshev－Pade逼近的存在性与CP表的结构，给出了存在的充要条件。中国科技大学陈效群讨论了曲面线性分割方法。合肥工业大学朱宝瑞从抽象Pade表概念引入H表概念，并将二者作了比较；蒋和理讨论了二、三重积分优化复化二次式数值算法。安徽工学院孟军讨论了一种局部构造的三次参数样条；夏金兵给出了三次样条在插补中应用的讨论。 在编微分方程边值问题计算方面，中国科技大学李晋先对抛物型方程边界元方法的误差进行了估计；他还讨论了活动边界问题的时－空有限元配位方法。石钟慈指出9参数拟协调板元，即Zienkiew iez不协调3次元。 工程设计中，拱、曲梁或壳体的所谓合理曲线问题，可归结为数学上的一个与4个物理参数有关的二阶非线性方程的边值问题。中国科技大学邓诗涛、李翊神完成的“一个二阶非线性方程边值问题解的存在性”研究，不但给出计算方法和程序，而且在理论上指出解的存在与4个物理参数的关系，进一步为工程设计提供了选取参数的依据。 在计算机数学方面，中国科技大学冯玉瑜、徐森林、范晓明、陈国良、王忠良、杨泽民、唐余善和安徽大学张良震等，对计算机的某些算法进行了讨论、研究和改进。冯玉瑜对非连续型的正交函数系Haar和W alsh系统，建立了分片线性和分片k次的系统，同时建立三角域上Haar和W alsh系统，并且还讨论了线性U系统中F－U级数的收敛性及在该系统中的快速算法。徐森林关于复杂性理论的研究获得了重要结果，他利用拓扑、代数、微分几何、概率和分析的知识，集中研究了各种算法的成本、误差率，为计算机科学的发展提供了理论依据。 Coons曲面和Bezier曲线、曲面是当今计算机辅助设计（CAGD）的两种最主要的设计曲面的数学方法。中国科技大学常庚哲完成的“Coons方法和Bezier方法的应用和研究”，主要内容有3点：一是介绍和推广应用Coons曲面的方法，发表综述性论文“Coon曲面介绍”；二是详尽介绍三次样条函数、Coons曲面方法在飞机外形计算上的应用；三是和北京航空学院吴骏恒共同研究Bezier方法，合作发表长篇综述性论文“贝齐尔曲线曲面的数学基础及其计算”，导出了关于Bezier基函数的一些新公式，证明了Bezier提出的、但未见发表证明的Bezier曲线作图法。 “计算数学和计算机数学”重要论文简表 表2－1－6  |
